📚 ملخص شامل درس الأعداد المركبة
رياضيات 3 ثانوي - الجزء الثاني (ص 119-162)
درس الأعداد المركبة يغطي تعريفها، تمثيلها الهندسي، العمليات، والتطبيقات المتقدمة
ملخص شامل لدرس الأعداد المركبة (3 ثانوي)
ملخص للعناوين الرئيسية من الكتاب المدرسي (صفحة 119 - 162)
1. مجموعة الأعداد المركبة والشكل الجبري
- تعريف المجموعة ℂ: هي مجموعة تتضمن المجموعة ℝ وتحتوي على عدد غير حقيقي i يحقق i² = -1.
- الشكل الجبري: يكتب كل عدد مركب z على الشكل الوحيد z = x + iy حيث x هو الجزء الحقيقي و y هو الجزء التخيلي.
- تساوي عددين مركبين: يتساوى عددان مركبان إذا وفقط إذا تساوى جزآهما الحقيقيان وتساوى جزآهما التخيليان.
2. المرافق والطويلة
- مرافق عدد مركب: مرافق z = x + iy هو z̄ = x - iy.
خواص: z . z̄ = x² + y² (عدد حقيقي موجب). - طويلة عدد مركب: هي عدد حقيقي موجب يرمز له بـ |z| ويعرف بـ: |z| = √(x² + y²).
خواص: |z . z'| = |z| . |z'| ، |z / z'| = |z| / |z'|.
3. الشكل المثلثي والشكل الأسي
- العمدة (Argument): هي الزاوية θ التي تحقق:
cos θ = x / |z| و sin θ = y / |z|. - الشكل المثلثي: z = r(cos θ + i sin θ).
- الشكل الأسي: z = r eiθ (حيث eiθ = cos θ + i sin θ).
- دستور موافر: (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
4. المعادلات في المجموعة ℂ
- المعادلات من الدرجة الثانية: لحل az² + bz + c = 0 نحسب المميز Δ:
- إذا كان Δ < 0، للمعادلة حلان مترافقان: z₁,₂ = (-b ± i√-Δ) / 2a.
5. التفسير الهندسي
- اللاحقة والصورة: العدد z يسمى لاحقة النقطة M(x, y).
- المسافة: المسافة بين نقطتين A و B هي: AB = |zB - zA|.
- الزاوية: الزاوية الموجهة (AB, AC) = arg( (zC - zA) / (zB - zA) ).
- التعامد: الكسر تخيلي صرف.
- الاستقامية: الكسر عدد حقيقي.
6. التحويلات النقطية (العبارة المركبة)
العبارة من الشكل: z' = az + b
- الانسحاب: إذا كان a = 1.
- التحاكي: إذا كان a ∈ ℝ* و a ≠ 1. (النسبة k = a).
- الدوران: إذا كان |a| = 1 و a ≠ 1. (الزاوية θ = arg(a)).
- التشابه المباشر: في الحالة العامة (a ∈ ℂ*)، حيث النسبة k = |a| والزاوية θ = arg(a).
💡 نصائح الامتحان البكالوريا
- ابدأ بالشكل المثلثي للعمليات
- ارسم التمثيل الهندسي دائماً
- تحقق العمود الرئيسي [-π, π]
- استخدم المرافق في البراهين
رابط تحميل الكتاب المدرسي المقرر كاملا
تحميل و معاينة درس الأعداد المركبة