📘 تمرين بكالوريا 2025 – المتتاليات
من حلّ التلميذ إلى تصحيح المصحّح
📝 نص التمرين (مختصر)
لدينا الدالة:
f(x) = 3 / (x + 2) معرفة على [-1 ; +∞[
ومتتالية (uₙ) معرفة بـ:
u₀ = −1 و uₙ₊₁ = f(uₙ)
ونعرّف المتتالية:
vₙ = (1 − uₙ) / (3 + uₙ)
🎯 ما الذي يريده المصحّح فعلًا؟
- فهم العلاقة التكرارية
- قراءة بيانية (بدون حساب)
- تحويل المتتالية إلى هندسية
- حساب النهاية بطريقة ذكية
🔍 التخمين من الشكل
من الرسم نلاحظ أن الحدود تقترب من نقطة تقاطع المنحنى مع المستقيم y = x.
✍️ حل تلميذ (واقعي)
vₙ₊₁ = (1 − uₙ₊₁) / (3 + uₙ₊₁)
وبما أن uₙ₊₁ = 3 / (uₙ + 2) فإن:
vₙ₊₁ = (1 − 3/(uₙ+2)) / (3 + 3/(uₙ+2))
إذن (vₙ) متتالية هندسية.
- لا يوجد تبسيط
- لا توجد نسبة
- لا يوجد عدد ثابت q
- لا توجد جملة استنتاج
🧑🏫 تصحيح المصحّح (الطريقة التي تعطي العلامة)
نكتب:
vₙ₊₁ = (1 − uₙ₊₁) / (3 + uₙ₊₁)
نعوّض uₙ₊₁ = 3 / (uₙ + 2)
بعد التبسيط نحصل على:
vₙ₊₁ = −(1/3) vₙ
q = −1/3
✏️ عبارة vₙ
إذن:
vₙ = (−1/3)ⁿ
✏️ عبارة uₙ
🔚 النهاية
إذن:
lim uₙ = 1
التمرين الثاني نص التمرين كاملا (04 نقاط)
نعتبر الدالة f المعرفة على المجال
[ -1 ؛ +∞ [
بالعبارة:
f(x) = 3 / (x + 2)
وليكن (Cf) تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس، و (Δ) المستقيم ذو المعادلة:
y = x
نعرّف المتتالية (uₙ) كما يلي:
u₀ = -1 و uₙ₊₁ = f(uₙ)
أنقل الشكل المرفق، ثم مثّل بيانيا حدود المتتالية
u₀ ، u₁ ، u₂ ، u₃
على محور الفواصل، دون القيام بأي حساب.
باستغلال التمثيل البياني، ضع تخمينًا حول اتجاه تغير المتتالية (uₙ) وتقاربها.
نعرّف المتتالية (vₙ) بـ:
vₙ = (1 - uₙ) / (3 + uₙ)
أ) بيّن أن المتتالية (vₙ) متتالية هندسية وحدّد أساسها.
ب) احسب v₀ ثم اكتب عبارة vₙ بدلالة n.
أ) استنتج عبارة uₙ بدلالة n.
ب) احسب نهاية المتتالية (uₙ).
المتتاليات، المتتاليات الهندسية، بكالوريا علوم تجريبية، تمرين متتاليات، حل التلميذ، تصحيح المصحح، منهجية المتتاليات، المتتاليات المعرفة بعلاقة تكرارية